코로나, 집단면역 & 확산체감효과(서브모듈성: submodularity)

최종 수정일: 2020년 3월 31일

최근 #코로나 감염과 관련하여

#집단면역 (herd immunity) 이야기가 나오고 있다. 영국이나 스웨덴이나 불끈하고 있는 듯 하고 우리나라도 전 인구의 60%가 감염되어야, 이것이 어차피 감염될 것이라는 뜻인지, 아니면 막으면 이야기가 달라지는지 의미가 명확하지 않다.

면역력이 생긴 자들이 버퍼 역할을 해주니 나머지를 지켜준다 이런 논리의 의미로도 쓰이는 듯 한데 이것도 좀 이상한 듯 하다.

바이러스 이 종료되기 위한 조건은 아래와 같다.

1) 건강 감염자 몸에서 (잠복 없이) 소멸

2) 감염자 회복까지 격리(통상 2주)

3) 비격리 감염자와 접촉 자제 사회적 거리 유지

1)은 외적 신체적 조건이나 제어할 수 있는 부분이 아니고 3)은 자발협조에 한계가 따르고 강제할 경우는 상당한 비용이 소요된다.

하나를 택일하라면 2)가 가장 합당한 방법이다. 여기에 더해 3)을 감정에 호소해 권고하든지 사태가 심각해서 강제적 차단, 단, 더 많은 비용이 소요(활동 중지에 따른 라이프라인 지원의 강도가 강해질 가능성),을 병행하는 것이 바람직하지 않을까?

예를 들어 세명의 구성원으로 구성된 사회 N=｛1, 2, 3｝의 감염자 집합을 M=｛｛1｝, ｛2｝,｛1, 2｝｝이라고 하자. 이는, 사회의 약 70%인 1, 2가 감염 되어 있고 ｛1, 2｝의 부분집합인 ｛1｝과｛2｝도 감염자 집합이라는 것을 의미한다. 물론 현실적으로는 예를 들어 구성원 1이 감염된 후 구성원 2가 감염되어 1, 2가 감염된 것이지만, 잠재적으로 구성원 2도 구성원 1과 유사한 환경으로 감염될 수 있고 그러면 1, 2가 감염된다는 것이다. 즉, 단조성(monotonicity)이 성립된다.(감염의 방향을 감안한 directed matroid도 있기는 하지만 이 가정으로 기본적 Matroid를 적용), 또한, 큰 집합에서 작은 집합을 제외한 집합에 속하는 감염자 예를 들어, 구성원 1 ∈｛1, 2｝/｛ 2｝을 작은 집합에 포함시킨 집합 ｛1｝∪｛2｝=｛1, 2｝도 M에 속한다. (구성원 2 ∈｛1, 2｝/｛ 1｝에 적용해도 마찬가지이다.) 이는 감염자를 따로 떼어 다른 감염 집합에 붙이면 감염자 집합이 된다는 것이다.

랭크 함수는 감염자수이다. 즉, r(｛ 1｝) = r｛2｝), r(｛1, 2｝) = r(｛1, 2, 3｝)=2이다. 사회 N=｛1, 2, 3｝은 랭크가 2다. 즉, 감염가 집단으로 구성원 1, 2는 감염이 되었지만 여기까지 코로나바이러스가 퍼지고 구성원 3은 감염되지 않았다는 것이다.

마트로이드의 랭크함수는 아래 두 관계 즉, 서브모쥴성이 성립하는데 이들은 서로 동치이다.